ความเสถียรและความเป็นเชิงเส้น

แต่ละพจน์ของอนุกรม 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... มีรูปแบบที่เรียบง่าย เราจึงสามารถจัดการขยับพจน์ต่าง ๆ ในตำแหน่งที่เหมาะสม เพื่อให้รวมกันแล้วเป็นค่าคงที่ได้ ถ้าหากกำหนดให้ s = 1 − 2 + 3 − 4 + … สำหรับบางจำนวน s เราจะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = 1/4 ได้ดังนี้[3]

4 s = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( 1 − 2 ) + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + 1 + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) − 1 + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = 1 + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( − 2 + 3 − 4 + 5 + ⋯ ) + ( 3 − 4 + 5 − 6 ⋯ ) = 1 + [ ( 1 − 2 − 2 + 3 ) + ( − 2 + 3 + 3 − 4 ) + ( 3 − 4 − 4 + 5 ) + ( − 4 + 5 + 5 − 6 ) + ⋯ ] = 1 + [ 0 + 0 + 0 + 0 + ⋯ ] 4 s = 1 {\displaystyle {\begin{array}{rclllll}4s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )&{}+(1-2+3-4+\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(1-2)+(3-4+5-6\cdots )\\&=&&(1-2+3-4+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+1+(-2+3-4+5+\cdots )&{}-1+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+&(1-2+3-4+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(-2+3-4+5+\cdots )&{}+(3-4+5-6\cdots )\\&=&1+[&(1-2-2+3)&{}+(-2+3+3-4)&{}+(3-4-4+5)&{}+(-4+5+5-6)+\cdots ]\\&=&1+[&0+0+0+0+\cdots ]\\4s&=&1\end{array}}} แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1/4 โดยใช้การขยับพจน์เพื่อให้อนุกรมนี้ 4 ชุดรวมกันแล้วเท่ากับ 1 ด้านซ้ายและด้านขวาของแผนภาพยังได้แสดงว่า ผลบวกของอนุกรมนี้ 2 ชุดรวมกันเท่ากับ 1 − 1 + 1 − 1 + ....

จึงได้ว่า s = 1 4 {\displaystyle s={\frac {1}{4}}} ดังที่แสดงในแผนภาพด้านขวา

ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลรวมของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้ แต่สมการ s = 1 − 2 + 3 − 4 + ... = 1/4 ก็เป็นคำตอบที่เป็นธรรมชาติที่สุดหากต้องนิยามผลรวมขึ้นมา ในกรณีทั่วไป การหาวิธีนิยาม "ผลรวม" ของอนุกรมลู่ออกต่าง ๆ เรียกว่าวิธีหาผลรวม ซึ่งมีอยู่หลายวิธี และสามารถแบ่งหมวดหมู่ได้ตามสมบัติของมันที่เหมือนกับการหาผลรวมปกติ การหาผลรวมของอนุกรมตามวิธีการข้างต้นนั้นได้แสดงว่า วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่เป็นเชิงเส้นและเสถียร จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ได้เท่ากับ 1/4 เสมอ[4] นอกจากนี้ วิธีการข้างต้นยังได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … กล่าวคือ

2 s = ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + ( 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) = 1 + ( − 2 + 3 − 4 + ⋯ ) + 1 − 2 + ( 3 − 4 + 5 ⋯ ) = 0 + ( − 2 + 3 ) + ( 3 − 4 ) + ( − 4 + 5 ) + ⋯ 2 s = 1 − 1 + 1 − 1 ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{rcllll}2s&=&&(1-2+3-4+\cdots )&+&(1-2+3-4+\cdots )\\&=&1+{}&(-2+3-4+\cdots )&{}+1-2&{}+(3-4+5\cdots )\\&=&0+{}&(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+\cdots \\2s&=&&1-1+1-1\cdots \end{array}}}

ซึ่ง s = 1 4 {\displaystyle s={\frac {1}{4}}} ทำให้นำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = 1/2[5]

ผลคูณโคชี

ใน พ.ศ. 2434 แอร์เนสโต เชซะโร ได้คาดหวังว่าจะมีการนำอนุกรมลู่ออกมาใช้อย่างมากในแคลคูลัส เขาได้ระบุว่า "เราสามารถเขียนให้ (1 − 1 + 1 − 1 + ...)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + ... และยืนยันได้ว่าทั้งสองข้างนั้นเท่ากับ 1/4"[6] สมการดังกล่าวเป็นกรณีทั่วไปของทฤษฎีบทที่เชซะโรได้ตีพิมพ์ในปีก่อนหน้า ซึ่งอาจกล่าวได้ว่าเป็นทฤษฎีบทแรกในประวัติศาสตร์ของการหาผลรวมอนุกรมลู่ออก วิธีการหาผลรวมของเซซาโรใช้แนวคิดหลักที่ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … นั้นเกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …

นิยามของผลคูณโคชีนั้นได้รวมถึงกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออกด้วย สำหรับ Σan = Σbn = Σ (−1) n เมื่อหาผลคูณโคชีตามนิยามจะได้

c n = ∑ k = 0 n a k b n − k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( − 1 ) n − k = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n = ( − 1 ) n ( n + 1 ) {\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}

ผลคูณโคชีของอนุกรมจึงมีค่าเท่ากับ

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( n + 1 ) = 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }

ดังนั้น วิธีหาผลรวมใด ๆ ที่ยอมรับผลคูณโคชีของอนุกรม และกำหนดผลรวมของ 1 − 1 + 1 − 1 + ... เท่ากับ 1/2 จะหาผลรวมของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้เท่ากับ 1/4 เสมอ ผลลัพธ์ดังกล่าวยังแสดงถึงความสมมูลกันในเชิงการหาผลรวมได้ของอนุกรม 1 − 1 + 1 − 1 + ... และ 1 − 2 + 3 − 4 + ... ด้วยวิธีหาผลรวมที่เป็นเชิงเส้น เสถียร และยอมรับผลคูณโคชี

วิธีการดังกล่าวเป็นเพียงตัวอย่างขั้นพื้นฐาน อนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + … จัดว่าเป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุดในเชิงการหาผลรวมเซซาโร เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ต้องใช้ทฤษฎีที่แรงขึ้นในการหาผลรวม เรียกว่าหาผลรวมได้แบบ (C, 2)[7]